Infinito(s)
Infinito é o nome deste blogue talvez o tenha escolhido por sempre ter tido afinidade para a matemática ou por gostar da máxima do Buzz Lightyear, personagem do Toy Story, "Para o infinito e mais além!" ou pelas milhentas coisas que todos os dias me acontecem, me fazem refletir e aprender ou procurar saber mais, muitas não partilho e outros gosto de partilhar... Curiosamente, nunca me tinha ocorrido escrever um post sobre o infinito, mas este fim-de-semana uma pimpolha amiga, de 5 anos, fez-me uma pergunta aparentemente simples "porque é que os números são infinitos?". Apanhada de surpresa e sem palavras, foi a minha primeira reação perante a sua questão! Explicar a noção de infinito a uma criança é um grande desafio, tendo em conta que muitos graúdo não a entendem. Há sempre a hipótese bastante perceptível e verdadeira, dado pelo pai da pimpolha, que a seguir a um número, por muito grande que ele seja, vem sempre outro. No entanto, as crianças não têm, nesta idade, o poder de abstração muito desenvolvido, para elas existem os números que conhecem, que mentalmente associam à contagem de objetos, e depois têm a noção de muitos ou muito grande, quando já não sabem ou conseguem contar. Como constatei quando perguntei à pimpolha "quantos são os beijos da mamã?" e ela me responde "Não sei, são muitos". Para as crianças, muito(s) e infinito são a mesma coisa.
Em termos matemáticos, a diferença entre o muito ou o muito grande, que é finito, e a noção do "verdadeiro" infinito, que para além de ser muito grande, é algo que nunca mais acaba, é essencial. Daqui advém a dificuldade de explicar o que é o infinito a uma criança pois, no seu pequeno mundo tudo é finito, não há nada que ela conheça que nunca mais acabe. É por esta e outras razões que a noção de infinito fez e, ainda faz, confusão não só às crianças. Ao longo dos tempos, o infinito tem sido um tema muito discutido e controverso, em áreas como a matemática, a física, a filosofia, entre outros. Com os estudos de George Cantor, nos finais do século XIX, o infinito entrou para ficar e dominar a esfera da discussão matemática. Cantor fez cair a máxima euclediana "o todo é maior que a parte" pois quando se tratam de conjuntos infinito isto nem sempre se verifica. Por exemplo, pensemos no conjunto dos números naturais (1, 2, 3,..) e no conjunto dos números pares (2, 4, 6,..) para comparar o cardinal (nº de elementos) deste 2 conjuntos basta "emparelhar" os seus elementos [um elemento de um conjunto para cada elemento do outro]. Ora é fácil de perceber que se obtém um número par multiplicando um número natural por dois, e sempre que se obtém um número natural dividindo um número par por dois. Logo, podemos concluir que existe a mesma "quantidade" de números pares de números naturais. No entanto, o conjunto dos números pares é uma parte do conjunto dos números naturais e são ambos infintos "iguais". Cantor demonstrou que os infinitos não são todos iguais como por exemplo, o conjunto dos números inteiros e o conjunto de números reais, embora ambos sejam infinitos, Cantor afirmou que os números reais eram em maior quantidade mas sem quantificar, questão que veio a ser demonstrada e quantificada por Hilbert - um dos maiores matemático do século XX - e aqui entramos no campo dos alef´s, que fica para mais tarde! Por todas estas razões e mais algumas, os estudos de Cantor foram muito contestados pelos matemáticos mas contra factos/demonstrações não há argumentos! Diz a história e alguns acontecimentos recentes, que os físicos também sentiram e sentem em apuros ao lidar com o infinito. Se a maioria dos mortais tem dúvidas ao lidar com a noção de infinito(s) o que sentirá uma criança? É deixá-la na expectativa até que uma dia tenha capacidade para compreender todas estas ideias...infinitas.
"Nenhum outro problema afetou tão profundamente o espírito do homem; nenhuma outra ideia tão fertilmente estimulou seu intelecto; nenhum outro conceito necessita de maior esclarecimento do que o infinito".
Em termos matemáticos, a diferença entre o muito ou o muito grande, que é finito, e a noção do "verdadeiro" infinito, que para além de ser muito grande, é algo que nunca mais acaba, é essencial. Daqui advém a dificuldade de explicar o que é o infinito a uma criança pois, no seu pequeno mundo tudo é finito, não há nada que ela conheça que nunca mais acabe. É por esta e outras razões que a noção de infinito fez e, ainda faz, confusão não só às crianças. Ao longo dos tempos, o infinito tem sido um tema muito discutido e controverso, em áreas como a matemática, a física, a filosofia, entre outros. Com os estudos de George Cantor, nos finais do século XIX, o infinito entrou para ficar e dominar a esfera da discussão matemática. Cantor fez cair a máxima euclediana "o todo é maior que a parte" pois quando se tratam de conjuntos infinito isto nem sempre se verifica. Por exemplo, pensemos no conjunto dos números naturais (1, 2, 3,..) e no conjunto dos números pares (2, 4, 6,..) para comparar o cardinal (nº de elementos) deste 2 conjuntos basta "emparelhar" os seus elementos [um elemento de um conjunto para cada elemento do outro]. Ora é fácil de perceber que se obtém um número par multiplicando um número natural por dois, e sempre que se obtém um número natural dividindo um número par por dois. Logo, podemos concluir que existe a mesma "quantidade" de números pares de números naturais. No entanto, o conjunto dos números pares é uma parte do conjunto dos números naturais e são ambos infintos "iguais". Cantor demonstrou que os infinitos não são todos iguais como por exemplo, o conjunto dos números inteiros e o conjunto de números reais, embora ambos sejam infinitos, Cantor afirmou que os números reais eram em maior quantidade mas sem quantificar, questão que veio a ser demonstrada e quantificada por Hilbert - um dos maiores matemático do século XX - e aqui entramos no campo dos alef´s, que fica para mais tarde! Por todas estas razões e mais algumas, os estudos de Cantor foram muito contestados pelos matemáticos mas contra factos/demonstrações não há argumentos! Diz a história e alguns acontecimentos recentes, que os físicos também sentiram e sentem em apuros ao lidar com o infinito. Se a maioria dos mortais tem dúvidas ao lidar com a noção de infinito(s) o que sentirá uma criança? É deixá-la na expectativa até que uma dia tenha capacidade para compreender todas estas ideias...infinitas.
"Nenhum outro problema afetou tão profundamente o espírito do homem; nenhuma outra ideia tão fertilmente estimulou seu intelecto; nenhum outro conceito necessita de maior esclarecimento do que o infinito".
David Hilbert (1862-1943) - matemático alemão
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